对于微积分来说，其中的微分学最基本的思想便是在曲线上求出定点P的切线的斜率。

不精确的切线定义

在过去，人们曾凭借生活经验对切线做出了定义，感觉两个物体在表面有接触,便有了相切的感觉。

在几何中对于一个圆，一条直线只和它有一个交点，便是交点的切线；要是相穿过这个圆，就有两个不同的交点，就不能算是切线了。如下图：

于是人们就对切线下了定义了，说一条直线只和对应曲线只相交于一点就是切线。这个定义确实能适应一些相切的情况，但是下面的就不能解释了：

图中a直线明明没有相切的感觉，却只有一个交点；b直线与曲线相交于多个点，却在A点有和曲线相切的直观印象。很明显这个切线的定义还不完善。

精确的切线定义

数学是个严谨的科学，上面这种不清晰的定义让那些思维严谨的数学家实在受不了。终于在1630年左右法国有一个数学家叫费尔马，他忍无可忍蹦了出来给出了一个让自己舒畅无比的切线定义，这个定义如此重要，以至于对我们今天的数学、物理学以及其它学科的发展起到了不可或缺的作用。

曲线切线的精确定义：假设有一个曲线y=f(x),它上面有一个点P，在P的右边（左边也可以）有一个点Q，做一条直线PQ穿过这两点，这时候这直线PQ就和曲线y相交于两个点，你可能会想，这不还是两个点吗？这下连相切的感觉都没了。不着急那个费马尔思维的闪光点是后面这句：如果点Q沿着曲线y逐渐向P滑动，那么这根直线也会不断的改变张角，一直到这个Q无限的接近P时，相切的感觉就有了，此时P几乎和Q重合，直线PQ和曲线y相切于P点了。

精彩的不光是定义，还有背后的极限思想。现在这个定义妥妥的解决了上面那两幅图的情况。

切线斜率的计算方法

这时候问题又来了，切线我知道是怎么回事了，不是说有个叫“导数”的东西其实就是曲线上一个点的切线的斜率吗？就拿上面说的P点，那么随意一个，我该怎么算斜率呢？

我们还是找了一个P点坐标为（x0，y0），在y上又找了一个Q（x1，y1）点，按照费尔马的想法，我们做直线PQ，很明显直线PQ切割了曲线y，有两个交点，这个时候我们可以计算出这个切割状态下的直线PQ的斜率：

k'代表直线PQ在切割状态下的斜率

当我们让Q沿着y曲线的轨迹滑向P点时，这个Q点的坐标值是不断的变化的，直线PQ一直通过P点，但是它对于x轴的倾斜程度在不断的变化，并不断的接近P点的切线这个极限方向，因此我们想这个切线的斜率k，就是Q趋近于P时不断变化的k'的极限值：

Q点向P点趋近过程中x1的值不断的趋近x0，y1也是一样的情形

这个式子看起来个头越来越大了，不过不要担心，这只不过是用数学符号lim表示了这种沿曲线滑动最终无限趋近一个点的动态情景。

到这里我们想计算的这个切线斜率k好像可以着手计算了，但是那里面都是字母怎么算呢？我们可以先想一下，既然这个式子表示的是动态过程，我们就从动态的方法去想。lim是无限趋近的意思，那么Q无限趋近P时y1无限趋近于y0，那么y1-y0趋近于0；同理x1-x0也趋近于0：

完了，不管你会不会做，反正除以0的我是没办法。还记的上高等数学时老师怎么说的吗？把y用x表示：

这样把那个分子分母上下相同部分消掉，就求出来了。做是这么做，但是为什么呀？凡是总得有个理由吧，这个理由就是我们用x表示y之后，因为x1趋近于x0这个动作引发的分子无限变小的因素x1-x0就从分子里给分离出来了，注意是无限变小的因素。还有一点重要的就是无限趋近和相等是不一样的，不论怎么接近，x1与x0总是差那么一点点，那这时候就有疑问了，大上面的式子里不是明明写着0/0吗？我们要说的是只有在lim的加持下表示出了这个趋近动作时，才说：

但实际上不论怎么靠近：

所以要注意极限和相等的不同含义。这样的话我们就能求出切线的斜率了，因为在无限趋近的情况下x1的极限就是x0（注意我没说x1是x0）:

好啦，随便一个在y上点的切线斜率居然是这个点的横坐标的2倍，真是不可思议，崇拜费尔马的力量吧。